online din 17.10.2003

ultima actualizare 29.10.2009

Septembrie 2009

Vizitatori: 2.244

Afisari: 7.498

- reteaua de noduri - ecuatia caldurii -

In contrast cu metodele analitice ce permit determinarea temperaturii in orice punct de interes din mediul de studiu, metodele numerice permit determinarea acestor valori numai in anumite puncte, numite discrete. Deci primul pas in orice analiza numerica va fi selectia acestor puncte.

Aceasta se face divizand zona de interes intr-o multitudine de zone mai mici si atribuind fiecarui astfel de zone, un punct de referinta reprezentat de centru acestei zone. Acest punct de referinta poarta denumirea de nod, iar multitudinea de noduri poarta denumirea de retea de noduri, sau mai simplu retea. Aceste noduri sunt reprezentate printr-un tabel bi-dimensional (in cazul modelelor 2D) – matrice, iar coordonatele x si y sunt determinate in functie de indicii m si n ai acestei matrici.

Fig. 1 - Reteaua de noduri

Fiecare nod reprezinta o zona, iar temperatura aferenta acestui punct reprezinta temperatura medie a zonei respective, spre exemplificare, in fig. 1, temperatura aferenta punctului de coordonate (m,n) ii este atribuita temperatura medie a zonei umbrite din imagine.

Selectia acestor puncte este de obicei arbitrara, luandu-se in considerare restrictii geometrice si acuratetea necesara, ce depinde puternic de numarul acestor puncte. Astfel, daca numarul de noduri este mare (o retea fina) se pot obtine solutii extrem de exacte.

Pentru determinarea numerica a distributiei temperaturilor este necesara determinarea unei relatii pe baza conservarii energiei in fiecare nod a carui temperatura este necunoscuta. Setul de ecuatii rezultat poate fi atunci determinat simultan pentru temperatura fiecarui nod. Pentru orice nod interior a unui model bi-dimensional fara generare de caldura si conductivitate termica constanta, ecuatia caldurii i-a urmatoarea forma:

  (rel. 1)

Cu toate acestea, daca modelul este caracterizat printr-o retea de noduri este necesara gasirea unei forme aproximative (o diferenta finita) a acestei ecuatii.

Pornind astfel de la relatia (1) se poate determina derivata de ordinul II (∂²T/∂x²), pentru un punct de coordonate (m,n), prin urmatoarea aproximatie:

  (rel. 2)

La randul lor, gradientii ∂T/∂x pot fi exprimati in functie de temperaturile nodale, astfel:

  (rel. 3)

   (rel. 4)

Substituind relatiile (3) si (4) in relatia (2) se obtine:

  (rel. 5)

iar in aceeiasi ordine de idei se poate obtine:

  (rel. 6)

Considerand reteaua regulata (Δx=Δy), si substituind relatiile (5) si (6) in ecuatia caldurii (1) se obtine:

 (rel. 7)

Deci ecuatia caldurii pentru un nod interior oarecare de coordonate (m,n), care este o ecuatie diferentiala exacta, s-a redus la o diferenta algebrica aproximativa. Aceasta forma aproximativa a ecuatiei caldurii (numita diferenta finita) poate fi aplicata oricarui nod interior egal departat de cei 4 vecini ai sai. Aceasta relatie (7) poate fi interpretata prin simplu fapt ca temperatura punctului de interes trebui sa fie egal cu media aritmetica a temperaturilor nodurilor vecine.