online din 17.10.2003

ultima actualizare 29.10.2009

Promovez

Royalty Free Images

Statistici site

Septembrie 2009

Vizitatori: 2.244

Afisari: 7.498

 

 

 

2.4 Solutiile ecuatiilor diferente finite

- metoda inversiei matricii - metoda iterativa Gauss-Seidel -

Odata cu crearea retelei de noduri si determinarea ecuatiilor diferente-finite pentru fiecare nod, se poate determina distributia de temperaturi. Problema se reduce la rezolvarea unui sistem linear de ecuatii algebrice. Exista numeroase metode de rezolvare a unor asemenea sisteme, si pot fi clasificate ca directe sau iterative. Metodele directe presupun un numar fix de operatii aritmetice si sunt recomandate atunci cand numarul de ecuatii (noduri cu temperaturi necunoscute) este mic. Chiar daca se foloseste un calculator, aceste metode folosesc multa memorie si presupun mult timp de calcul, deci de cele mai multe ori este cel mai efficient a folosi metodele iterative. Cu toate ca in cazul acestor metode numarul de operatii aritmetice nu poate fi prezis, iteratiile sunt caracterizate prin reducerea necesarului de memorie si de timp atunci cand numarul de ecuatii creste.

 

In cele ce urmeaza am sa exemplific doua metode, una directa, iar celalalta iterativa, metoda inversiei matricii si, respectiv, iteratiile Gauss-Seidel.

2.4.1 Metoda inversiei matricii

Sa consideram, deci, un system de N ecuatii diferente-finite ce corespund la N temperaturi necunoscute. Indentificand nodurile printr-un singur indice intreg, mai degraba decat prin coordonate (m,n), se pot scrie cele N ecuatii sub forma:

  (rel. 12)

unde, cantitatile a11,a12,,C1,C2, sunt coeficienti cunoscuti si constante ce cuprind la randul lor cantitati ca: Δx, k, h, T∞. Folosind notarea sub forma de matrice, sistemul de ecuatii (12) poate fi rescris ca:

    [A][T]=[C] (rel. 13)

unde,

Matricea coeficientilor [A] este patrata (NxN), iar elementele constituente sunt identificate printr-o notare dubla, ce refera randul, respectiv coloana din care fac parte. Matricele [T] si [C] au o singura coloana, si sunt cunoscute sub numele de vectori columnari. De obicei sunt identificate prin termenii de solutie, respectiv vectori din partea dreapta. Vectorul solutie poate fi deci exprimat astfel:

[T]=[A]-1[C]  (rel. 14)

unde [A]-1 este inversul matricii [A] si se defineste astfel:

iar, evaluand expresia (14) se poate spune ca:

  (rel. 15)

problema reducandu-se la determinarea inversului matricei [A], adica [A]-1.

 

Inversia unei matrici se poate implementa intr-un program pentru calculator, depinzand insa de marimea acestei matrici. Se poate spune ca aceasta metoda ofera un mijloc convenant pentru rezolvarea problemelor de conductie plane. Totusi, operatia de inversie a unei matrici nu este eficienta din punct de vedere al numarului de calcule necesare, deci, deseori este preferabila folosirea unei metode iterative numerice.

2.4.2 Metoda iterativa Gauss-Seidel

Metoda Gauss-Seidel este o metoda de rezolvare a acestor tip de probleme foarte populara si in acelasi timp eficienta. In general, pentru a facilita rezolvarea sistemului de ecuatii diferente-finite trebuie urmat urmatorul algoritm:

 

    1. In orice etapa a iteratiei, ecuatiile vor fi reordonate astfel incat elementele diagonale ale matricii [A], a caror magnitudine este mai mare decat a celorlalte elemente din acelasi rand sa fie primele. Este deci, de dorit ca secventa de ecuatii sa fie in ordinea urmatoare: |a11|>|a12|,|a12|,,|a1N|; |a22|>|a21|,|a23|,,|a2N| si asa mai departe.

     

    2. Dupa reordonare, fiecare din cele N ecuatii vor fi scrise in forma explicita pentru temperatura asociata cu elementul diagonal. Astfel, fiecare temperatura din vectorul solutie va deveni de forma:

  (rel. 16)

    unde i=1,2,,N. Indicele k se refera la nivelul iteratiei.

    3. O valoare initiala (k=0) se atribuie pentru fiecare temperatura Ti. Numarul de iteratii se pot reduce prin selectarea unor valori ale temperaturii estimate rational.

    4. Noi valori ale lui Ti se calculeaza inlocuind valorile implicite sau presupuse ale temperaturilor Tj pentru (k=0) in partea dreapta a ecuatiei (16). Acest pas reprezinta prima iteratiei (k=1).

    5. Folosind noile valori ale temperaturilor, ce devin Tj(k-1) , unde i+1≤j≤N si valorile Tj(k) ale iteratiei in curs, Tj(k), unde 1≤j≤i-1 se calculeaza urmatorul pas al iteratiei, rezultand un nou set Ti(k).

    6. Iteratiile se incheie atunci cand este atins un criteriu de convergenta stability ca fiind:

 (rel. 17)

    unde epsilon reprezinta eroare temperaturi ce se considera a fi acceptabila.

 

Daca pasul 1 este indeplinit implicit in fiecare ecuatie, sistemul rezultat se spune a fi diagonal dominant, si rata de convergenta este maximizata, iar numarul de iteratii este minimizat. Totusi, convergenta se poate atinge si in multe alte situatii in care nu are loc dominatia diagonala, cu toate ca numarul de iteratii este mult mai mare. Trebuie deasemenea notat metoda prin care noile valori Ti sunt calculate (pasii 4 si 5). Deoarece Ti pentru o anumita iteratie este calculat secvential, fiecare valoare este calculata folosind cele mai noi estimari ale altor Ti, asa cum reiese implicit din relatia (16).

 

 

[Bogdan's World] [Imagini] [Jurnal] [Cultura si Istorie] [Stiinta si Tehnica] [Legaturi] [Romani in Japonia] [Guestbook] [Contact]

 

Bogdan Lazar - Copyright 2003-2009 - Termeni si conditii de utilizare